Κλίμακες και μονάδες μέτρησης

Τι διαφορά έχει μια κλίμακα από μια μονάδα μέτρησης; Κάθε μέτρηση δεν είναι σύγκριση με μια μονάδα μέτρησης; Και η διαδικασία της μέτρησης δεν γίνεται μέσω βαθμονόμησης (ή «κλιμακοποίησης») συσκευών, πάλι σε σχέση με μια καλώς ορισμένη μονάδα; Και αν ακόμα οι λεγόμενοι «βαθμοί της τάδε κλίμακας» είναι λογάριθμοι κάποιας αδιάστατης ποσότητας (οπότε κι αυτοί αδιάστατοι), τότε οι «μοίρες» θεωρούνται μονάδες; Τελικά πότε λέμε τη λέξη «βαθμοί» και πότε όχι; 

Το θέμα έχει αρχίσει να επηρεάζει τον ύπνο μου. Ας πάρουμε τα πράγματα με μια σειρά. Ίσως να φαίνεται λίγο παπατζίδικο, αλλά θα χρησιμοποιήσω την Γουίκ(λ)ι-πίντια για τους ορισμούς (εύκολο και γρήγορο)

Παράθεση:
Measurement is the estimation or determination of extent, dimension or capacity, usually in relation to some standard or unit of measurement. The measurement is expressed as a number of units of the standard (a real number times a unit), such as distance being indicated by a number of miles or kilometers.The process of measuring involves estimating the ratio of the magnitude of a quantity to the magnitude of a unit of the same type (e.g. length, time, mass, etc.). A measurement is the result of such a process, expressed as the product of a real number and a unit, where the real number is the estimated ratio. An example is 9 metres, which is an estimate of an object’s length relative to a unit of length, the metre. Unlike a count, or integer quantity of items that is known exactly, every measurement is an estimate that has some uncertainty.

Εδώ η μέτρηση ορίζεται ως η εκτίμηση μιας φυσικής ποσότητας σε σχέση με κάποια μονάδα (μέτρησης). Όπως σχολιάζεται σε άλλο χωρίο (σχετικά με τις θεμελιώδεις μονάδες)

 

Παράθεση:
In fact, dimensionless quantities are fundamentally what we measure, even when we are measuring dimensionful quantities. We always measure a physical quantity against a like dimensioned standard. When one measures a length with a ruler or tape-measure, that person is actually counting tick marks on the ruler (a standard used to measure length) and the net result is a dimensionless number. But when that quantity is expressed as the dimensionless number attached to (multiplying) a dimensionful unit, it becomes, conceptually, a dimensionful quantity.

Εν ολίγοις αυτό που μετρούμε πάντα είναι καθαροί (αδιάστατοι, αν θέλετε) αριθμοί. Δεδομένου, όμως, ότι η μέτρηση έγινε πάνω σε κάποια βαθμονομημένη συσκευή, αποκτούμε το μέγεθος πολλαπλασιάζοντας τον μετρούμενο (καθαρό) αριθμό με την μονάδα που ορίσαμε (π.χ. ένα δεδομένο μήκος πάνω σε έναν χάρακα). Συνεπώς, ο ορισμός μιας φυσικής ποσότητας είναι ο παρακάτω:

 

Παράθεση:
A physical quantity is either a quantity within physics that can be measured (e.g. mass, volume, etc.), or the result of a measurement. A physical quantity Q is usually expressed as the product of a numerical value {Q} and a physical unit [Q].

Παρατηρήστε πως μια φυσική ποσότητα ορίζεται μέσω της μέτρησης. Με αυτήν την έννοια θεωρούμε ισοδύναμες τις εκφράσεις «physical quantity» (φυσική ποσότητα) και «measurable quantity» (μετρήσιμη ποσότητα). Υποθέτω πως πρόκειται για κάτι αντίστοιχο με τις λεγόμενες παρατηρήσιμες ποσότητες (observables) για τις οποίες γίνεται λόγος στην κβαντική μηχανική.

Είμαστε, λοιπόν, σε θέση να μετρήσουμε με όρους καθαρών (αδιάστατων) αριθμών. Το μόνο που μένει είναι να κατασκευάσουμε με κάποιον τρόπο τις φυσικές μονάδες, οι οποίες αναφέρονται ως (εννοιολογικά, υποθέτω) ισοδύναμες των μονάδων μέτρησης:

 

Παράθεση:
A unit of measurement is a standardised quantity of a physical property, used as a factor to express occurring quantities of that property. Units of measurement were among the earliest tools invented by humans.

Προφανώς δεν υπάρχει μόνο μια μονάδα μέτρησης για κάθε διαφορετικό φυσικό μέγεθος. Επιπλέον, αφού επιλέξουμε μόνο μια μονάδα για κάθε μέγεθος, μπορούμε κατά σύμβαση να χωρίσουμε αυτές τις μονάδες σε κατηγορίες. Το S.I. ορίζει τις εξής δυο ομάδες:

  • Βασικές μονάδες (base units):
    1. μέτρο (μήκος)
    2. χιλιόγραμμο (μάζα)
    3. δευτερόλεπτο (χρόνος)
    4. ampere (ηλεκτρικό ρεύμα)
    5. kelvin (θερμοδυναμική θερμοκρασία)
    6. mole (ποσότητα ύλης, μάζα/μάζα)
    7. candela (φωτεινή ένταση)
  • Παραγώμενες μονάδες (derived units)
    • rad (γωνία) ως μέτρο/μέτρο
    • newton (δύναμη) ως χιλιόγραμμο επί μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο
    • κτλ.

    Αν εξαιρέσει κανείς το mole (που είναι καθαρός αριθμός και προκύπτει ως λόγος μαζών), οι 8 βασικές μονάδες φαίνονται να αρκούν ώστε να «κατασκευαστούν» όλες οι υπόλοιπες. Μάλιστα, αν παρατηρήσετε στις περιγραφές που δίνονται στις αντίστοιχες σελίδες, οι μονάδες σχετίζονται με πρότυπα αντικείμενα ή φαινόμενα, χωρίς να εμπλέκουν άλλες μονάδες (δηλ. μιλάμε για καθαρούς αριθμούς).

    Εν ολίγοις, οι παραπάνω μονάδες της πρώτης κατηγορίας είναι αυτό που γενικά λέγεται σύνολο θεμελιδών μονάδων (fundemental units), το οποίο επέλεξε το S.I. και έχει υιοθετήσει ο περισσότερος κόσμος (πέρα από τους αμερικανούς και τους εγγλέζους που είναι αντιδραστικοί. Αντί για τις βασικές μονάδες του S.I. (S.I. base units) που αναφέρθηκαν παραπάνω, κανείς θα μπορούσε να υιοθετήσει ένα δικό του σύνολο θεμελιωδών μονάδων.

    Επιλέγοντας, λοιπόν, τις θεμελιώδεις μονάδες μας, έχουμε ταυτόχρονα και αυθόρμητα επιλέξει και το σύνολο των θεμελιωδών φυσικών μεγεθών (ή «διαστάσεων») που θα θεωρήσουμε. Αυτό, άλλωστε, που, ως φαίνεται, έχει σημασία είναι να περιλαμβάνονται ορισμένα μεγέθη, ή «διαστάσεις». Τέτοια είναι το μήκος, ο χρόνος, η μάζα και η θερμοκρασία:

  •  

    Παράθεση:
    As with any set of base units or fundamental units the base units of a set of natural units will include definitions and values for length, mass, time, temperature, and electric charge. Some physicists have not recognized temperature as a fundamental dimension of physical quantity since it simply expresses the energy per degree of freedom of a particle which can be expressed in terms of energy (or mass, length, and time).

    Με βάση το παραπάνω, οι μονάδες μέτρησης είναι μεν μονοσήμαντα αντιστοιχισμένες σε φυσικά μεγέθη, αλλά στην ουσία μιλούμε με όρους μεγεθών, αποκαλώντας τα «διαστάσεις». Π.χ., αφού ορίσουμε μονάδες για μήκος, χρόνο, κτλ., έχουν διάσταση που εξαρτάται απ’ αυτά. Π.χ. λέμε ότι η ταχύτητα έχει διάσταση «μήκος/χρόνο». Αυτός ο τρόπος έκφρασης καθιστά την διερεύνηση ανεξάρτητη συγκεκριμένων μονάδων.

    Έχοντας αυτά υπ’ όψιν, μπορούμε, έτσι, να προχωρήσουμε στον ορισμό ενός συστήματος μονάδων «της φύσης» (natural units) (το γράφω έτσι ώστε να διακριθεί το physical από το natural). Σε αυτήν την περίπτωση παίρνουμε κάποιες σταθερές τις φύσης και τις θεωρούμε ίσες με την μονάδα (1), απαιτώντας μόνο να παραμένει ο σωστός συσχετισμός διαστάσεων ανάμεσα στα μεγέθη.

    Είαι σημαντικό, εδώ, να γίνει ένα σχόλιο περί αυτού του συσχετισμού: Ο τρόπος με τον οποίο εξαρτώνται μεταξύ τους οι διαφορετικές διαστάσεις (ή μεγέθη) είναι κάθε άλλο παρά αυθαίρετος, και αυτό είναι λογικά που μας επιτρέπει να ορίσουμε ένα μικρό σύνολο θεμελιωδών μονάδων ώστε να εξάγουμε απ’ αυτές τις υπόλοιπες. Για παράδειγμα, από τις στιγμή που θεωρούμε ως θεμελιώδεις τις διαστάσεις μήκους, χρόνου και μάζας, μπορούμε μέσω του Νόμου του Newton να υπολογίσουμε τις διαστάσεις της δύναμης:

    Κώδικας:
    F = M * A
    A = V / T
    V = L / T


    οπότε

    Κώδικας:
    F = M * L * T^(-2)

    όπου προφανώς F=δύναμη, M=μάζα, L=μήκος, T=χρόνος, ανεξαρτήτως συγκεκριμένων μονάδων (είτε χρησιμοποιήσω μέτρα, είτε inches, η δύναμη έχει μέσα της μήκος στην πρώτη δύναμη.

    Τα παραπάνω δεν είναι καν τετριμμένες λεπτομέρειες. Μπορεί κανείς να διαπιστώσει ότι η ταχύτητα και η επιτάχυνση (ως παραγώμενα μεγέθη) αποκτούν τις διαστάσεις τους ελέω ορισμού. Από την άλλη, η δύναμη αποκτά τις διαστάσεις της ελέω φυσικού νόμου!

    Μια αναλογία ίσως έφερνε κι άλλα στοιχεία στην επιφάνεια: Ένα στερεό σώμα, ελεύθερο στο χώρο, έχει 6 βαθμούς ελευθερίας κίνησης, και συνεπώς η κατάστασή του περιγράφεται από ισάριθμες συντεταγμένες. Αν το πακτώσουμε ξαφνικά στο άκρο μιας άκαμπτης ράβδου, κρεμασμένης στο άλλο άκρο από το ταβάνι, τότε περιορίζουμε τους βαθμούς ελευθερίας κίνησης. Για την ακρίβεια, ο σύνδεσμος που επιβάλαμε μας επιβάλλει μόνο να χρησιμοποιησουμε π.χ. 4 βαθμούς ελευθερίας, αλλά όχι και ποιοι θα είναι αυτοί. Οι σχέσεις των βαθμών μεταξύ τους ορίζονται, πλέον, από τη μορφή του συνδέσμου.

    Οι φυσικές μονάδες έχουν μια παρόμοια σχέση εξάρτησης: Μέσω ορισμών (γεωμετρικών, κινηματικών, κτλ.) είτε μέσω φυσικών νόμων.

    Η διερεύνηση αυτή μπορεί, εν τέλει, να οδηγήσει σε «αναπάντεχα» πρακτικά αποτελέσματα: Από τη στιγμή που ένας νόμος ορίζει την διαστατική σχέση ανάμεσα σε μεγέθη, όλοι οι άλλοι νόμοι θα πρέπει να σέβονται τη σχέση αυτή. Π.χ. δεν θα μπορούσαμε ποτέ να βγάλουμε σε ένα πρόβλημα ότι μια δύναμη δίνεται από τη σχέση

    Κώδικας:
    F = 15*m^2 / k

    όπου m μια μάζα και k η σταθερά του boltzmann

    Η συστηματική διερεύνηση όλων αυτών ονομάζεται διαστατική ανάλυση, και πέρα από την διευκόλυνση που μπορεί να μας προσφέρει απλοποιώντας υπολογισμούς (βλ. και τα περί «φυσικών μονάδων»), αποτελεί εργαλείο διερεύνησης λύσεως πολλών φυσικών προβλημάτων και εξαγωγής/αξιολόγησης φυσικών νόμων.

    Ένα ενδιαφέρον ερώτημα θα ήταν εδώ το κατά πόσο τα σύνθετα (ή παραγώμενα) μεγέθη μας δίνουν τελικά παραπάνω πληροφορίες για ένα σύστημα. Π.χ. όταν γνωρίζω την πλευρά ενός τετραγώνου, μπορώ να ισχυριστώ ότι η επιφάνειά του είναι μια επιπλέον ιδιότητά του, δεδομένου ότι τα δυο μεγέθη συνδέονται μέσω ενός γεωμετρικού νόμου; (A=L^2)? Ακόμη γενικότερα, εφ’ όσον γνωρίζουμε ότι η θερμοκρασία και η θερμότητα έχουν πάνω μια σχέση σαν την

    Κώδικας:
    Q=kT

    έχει νόημα να λέω ότι η θερμότητα και η θερμοκρασία αντιπροσωπεύουν διαφορετικές φυσικές ιδιότητες; Θα μπορούσα να θεωρήσω ότι είναι φυσικά ισοδύναμα αντικείμενα με δυο όψεις, ανάμεσα στις οποίες η σταθερά του Boltzman λειτουργεί σαν «φυσικό λεξικό»;

    Τα συμπεράσματα που έβγαλα, λοιπόν, σε σχέση με το topic είναι:

    1. Όλες οι μετρήσεις έχουν ως αποτέλεσμα καθαρούς αριθμούς
    2. Ο καθαρός αριθμός αναφέρεται στο πληθος των στοιχειωδών ομοδιάστατων οντοτήτων που θεωρήσαμε «μονάδες μέτρησης»
    3. Η μέτρηση ενός μεγέθους μπορεί να γίνει εμμέσως, μετρώντας ένα άλλο, και εκμεταλλευόμενος τον μαθηματικό/γεωμετρικό ή φυσικό νόμο που τα συνδέει
    4. Η κλίμακα τελικά δεν έχω καταλάβει ποια επιστημολογική ή εννοιολογική ανάγκη καλύπτει, ούτε καν ως διαχωρισμός αναπαράστασης και μέτρησης: Ποτέ σας δεν μετρήσατε την μάζα σας, θερμοκρασία ή χρόνο. Μετράτε το βάρος σας (το οποίο μέσω του φυσικού νόμου w=g*m σας δίνει μάζα) σε βαθμονομημένες ζυγαριές, μήκη σε βαθμονομημένες ζυγαριές, αριθμό «ticks» στο ρολόι σας (το οποίο τελικά παρακολουθεί κάποια ταλάντωση, ατομική, ηλεκτρική, κτλ.)
    5. Νυστάζω
    6. Για δες τη μαθαίνει κανείς από τον Γούγλη.


    Θα περιμένω από κάποιον που έχει γνώση πάνω στο θέμα να απαντήσει στο ερώτημα που με γουγλίστικες μπακαλιές προσπάθησα να καλύψω Wink

    Advertisements

    Σχολιάστε

    Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

    Λογότυπο WordPress.com

    Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

    Φωτογραφία Google

    Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

    Φωτογραφία Twitter

    Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

    Φωτογραφία Facebook

    Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

    Σύνδεση με %s