Άρα τι;

Πάντα πίστευα ότι στόχος των μαθηματικών στο σχολείο δεν θα’πρεπε να’ναι το να αποστηθίσουν οι μαθητές τη δευτεροβάθμια εξίσωση ή τους τύπους παραγώγισης. Θα αρκούσε να μάθουν πότε μπορούν να χρησιμοποιούν τον συμπερασματικό σύνδεσμο «άρα«. Ίσως όλα σήμερα να’ταν διαφορετικά.

Η σκανδάλη

Αφορμή για το παρόν στάθηκε ένα post του οποίου ο τίτλος είναι αρκετά δελεαστικός: «Θα σου δείξω κάτι περίεργο… που ωστόσο βασίζεται σε απλά μαθηματικά«. Το συμπέρασμα του άρθρου σκανδαλώδες: «Άρα είσαι συγγενής με όλους σ’ αυτόν τον πλανήτη. ΔΥΟ φορές«. Το συμπέρασμα εκείνου που το αναδημοσίευσε απογοητευτικό: «Άρα ο ρατσισμός είναι μια ηλιθιότητα«.

Και εξηγούμαι: Το γεγονός ότι ένα μοντέλο ή μια θεωρία ή ένα επιχείρημα διατυπώνεται με μαθηματικά, δε σημαίνει ότι είναι ορθό (sound) ή έγκυρο (valid). Είναι όπως και στη φυσική γλώσσα. Πάρτε για παράδειγμα τον εξής συλλογισμό: «Οι σταλακτίτες είναι θηλαστικά, άρα πετάνε. ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ«. Επειδή έχω σωστή ορθογραφία και σύνταξη, δε σημαίνει ότι οι σταλακτίτες είναι θηλαστικά, ή ότι κάτι μπορεί να πετάξει στη θάλασσα. Πόσο μάλλον να θεωρήσω ότι η μια πρόταση συνεπάγεται την άλλη.

Το σφάλμα

Εν προκειμένω, ο συγγραφέας κατασκεύασε ένα εσφαλμένο μοντέλο σχετικά με τη γενεαλογία. Δεν είμαι ειδικός στα σχετικά μαθηματικά μοντέλα, αλλά εδώ το λάθος είναι σχετικά ευδιάκριτο: Θεώρησε ότι δυο άνθρωποι τεκνοποιούν μόνο υπό την προϋπόθεση ότι δεν έχουν κανέναν κοινό πρόγονο σε όλο το μήκος του γενεαλογικού τους δέντρου.

Το πιο εντυπωσιακό είναι το πώς θα προσπαθούσε κανείς να αποδείξει ότι το μοντέλο είναι λανθασμένο. Η λογική είναι απλή: Αν σε κάθε δέντρο δεν υπάρχει κανένας κοινός πρόγονος, τότε το δέντρο είναι δυαδικό, που σημαίνει ότι το απαιτούμενο πλήθος προγόνων αυξάνει εκθετικά πηγαίνονας προς τις πίσω γενιές. Αρκεί να βρούμε, λοιπόν, ένα σημείο της ιστορίας στο οποίο ο πραγματικός, καταγεγραμμένος πληθυσμός είναι μικρότερος απ’ αυτόν που υπολογίζουμε με βάση το μοντέλο μας. Αυτό το σημείο είναι περίπου στο 1400 μ.Χ.

Έγινε ακριβώς αυτό που καταλάβατε. Η μέθοδος για να αποδείξει κανείς ότι το μοντέλο είναι λανθασμένο είναι ακριβώς η μέθοδος που χρησιμοποιεί ο αρθρογράφος για να αποδείξει το αντίθετο (ή απλά κάτι ασυνάρτητο). Και το λανθασμένο αυτό συμπέρασμα χρησιμοποιήθηκε ώστε ο «αναδημοσιευτής» να βγάλει κάποιο άλλο συμπέρασμα.

Είναι, λοιπόν, τόσο χαλαροί οι κανόνες στα συμπεράσματα που μπορούμε να βγάζουμε; Μπορούμε να βάζουμε απλώς μια εικόνα, δυο πράξεις, τη λέξη «μαθηματικά» και ένα «άρα» και να πιστεύουμε ότι έχουμε λογικά επιχειρήματα;

Γενεαλογική κατάρρευση

Η πρώτη μου σκέψη σχετικά με το λάθος του μοντέλου καθ’αυτό, ήταν ότι όλο και κάτι σχετικό θα υπάρχει στη βιβλιογραφία. Μια 10λεπτη αναζήτηση στο internet με οδήγησε στο λήμμα «γενεαλογική κατάρρευση» (pedigree collapse). Πρόκειται για την ανάλυση αυτού του «παραδόξου», με ταυτόχρονη διόρθωση του μοντέλου, η οποία είναι απλή: Σε ένα γενεαλογικό δέντρο επιτρέπονται κοινοί πρόγονοι. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η δομή δένδρου (tree) να «καταρρέει» σε δομή κατευθυνόμενου ακυκλικού γράφου (DAG).

Πως ακριβώς προκύπτουν οι κοινοί πρόγονοι στην πράξη; Κι αυτό είναι απλό: Οι γονείς ενός παιδιού μπορεί να έχουν μεταξύ τους συγγένεια εξ’ αίματος, ξεκινώντας από πρώτα ξαδέλφια (cousin marriages)  και πηγαίνοντας σε μακρυνότερες σχέσεις. Μάλιστα, όπως αναφέρει και το σχετικό άρθρο της wikipedia, εκτιμάται ότι περίπου 10% των γάμων παγκοσμίως είναι ανάμεσα σε πρώτα ή δεύτερα ξαδέρφια.

Άλλωστε, γάμοι ανάμεσα σε δεύτερα ξαδέρφια και πάνω φαίνεται να μην οδηγούν σε γενετικές ανωμαλίες. Αυτό σημαίνει ότι αν κατά καιρούς ομάδες ανθρώπων έχουν αποφασίσει για κάποιον αυθαίρετο λόγο να διατηρήσουν «γονιδιακή ομοιογένεια» μπορούν να το κάνουν σχετικά εύκολα.

Ρατσισμός και ηλιθιότητα

Τελικά, ο ρατσισμός, δηλ.  η πεποίθηση ότι οι «διάφορες φυλές των ανθρώπων συνεπάγονται ανωτερότητα ή κατωτερότητα». είναι μια ηλιθιότητα, όπως συμπεραίνει ο φίλος που αναδημοσίευσε το κείμενο; Κατ’ εμέ, είναι. Με έντονα γράμματα. Για πολλούς λόγους. Αλλά όχι επειδή «προκύπτει» απ’ αυτό το εσφαλμένο μοντέλο για την ανθρώπινη γενεαλογία.

Θα περίμενα, για να είμαι ειλικρινής, ανοιχτόμυαλοι άνθρωποι που έχουν ξεφύγει από συμπλέγματα όπως ο ρατσισμός να βλέπουν τα λάθη στους συλλογισμούς τους ως αφορμή για έρευνα, όχι ως κρίκο για ένα σαθρό συλλογισμό, που σε τελική ανάλυση, μόνο κακό μπορεί να προκαλέσει στην επιχειρηματολογία τους.

Κι αν ο ρατσισμός είναι επικίνδυνος (ή ηλίθιος) για την ανθρωπότητα και τον πολιτισμό της, το ίδιο επικίνδυνη θεωρώ και την παραβίαση της λογικής μέσω ασυνάρτητων συμπερασμάτων.  Για να μη φοβόμαστε, λοιπόν, μήπως τα «όπλα» που νομίζουμε ότι θα μας σώσουν τελικά εκπυρσοκροτήσουν, καλό είναι να προσέχουμε πού βάζουμε το «άρα» μας.

Advertisements

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Google photo

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s